Évolution des connaissances en calcul mental des élèves du cycle 3 et influence d’une pratique régulière du logiciel « Mathador » sur les apprentissages

Question 1 : Les programmes énoncent les connaissances attendues des élèves en calcul mental mais quelles sont réellement leurs connaissances, et comment ces connaissances évoluent-elles au cours d’une année scolaire et au cours du cycle 3 ?

Les connaissances des élèves sont à de rares exceptions (McIntosh et al., 1997) évaluées de manière statique à un moment de la scolarité. Chesné (2014) a fait un point dans sa thèse sur les connaissances en calcul mental et montré un déficit sur les items ciblant les faits multiplicatifs. Nous questionnons tout d’abord les connaissances des élèves du cycle 3 en calcul mental sur deux aspects~: le premier concerne leur nature et le second, leur mode de mise en fonctionnement (restitution ou adaptation) à un instant donné. Nous interrogeons également l’évolution de ces connaissances au cours d’une année scolaire et au cours du cycle 3.

Question 2 : Comment une pratique régulière du logiciel de calcul mental « Mathador » basé sur un jeu peut influencer cette évolution ? Quelles sont les connaissances en jeu lors de cette pratique ?

Notre hypothèse, découlant de la théorie de la double approche (Robert et Rogalski, 2002) est que les apprentissages des élèves dépendent des tâches qui leur sont dévolues par les enseignants (ou celles qu’ils délèguent, par exemple à un logiciel). Pour répondre à cette question, nous recherchons d’une part, les connaissances des élèves susceptibles d’être activées lors des tâches proposées par le logiciel, et d’autre part, celles qui sont effectivement utilisées par les élèves lors de ces tâches.

Question 3 : Dans quelle mesure les pratiques enseignantes influent-elles sur les effets de cette pratique régulière et donc sur l’évolution des connaissances des élèves concernés ?

Divers travaux, dont ceux de Trouche (2003) et de Grugeon-Allys (2008), montrent l’importance de l’enseignant dans la construction de l’instrument par l’élève. Les connaissances transmises aux élèves correspondent à des connaissances liées au calcul mental et à des connaissances intrinsèques au jeu : certaines sont liées à l’utilisation de l’interface ou aux règles du jeu (ces deux types de connaissances sont propres à cet instrument) et d’autres aux procédures de résolution des tirages (les stratégies s’appuient sur des décompositions du nombre cible et mobilisent des connaissances mathématiques).

Question 4 : Peut-on dégager des pistes permettant d’améliorer un logiciel de type « Mathador » et son utilisation en vue d’enrichir les apprentissages des élèves ?

Les réponses aux premières questions ayant montré les faiblesses du logiciel et de sa prise en main par les enseignants, nous proposons des améliorations en vue de favoriser les apprentissages des élèves.

Les connaissances des élèves sont recherchées à partir de data de jeu. Ces data sont composées d’une part, d’une base provenant d’un concours effectué en classe et d’autre part, des data de jeu des années une et deux de l’expérimentation. Ces deux dernières bases de données comprennent plusieurs centaines de milliers de lignes correspondant chacune à la solution d’un tirage par un élève. Nous avons créé des indicateurs à partir de l’analyse a priori des tirages, analyse qui nous a permis de définir les différents types de combinaisons permettant de résoudre les tirages et le niveau de connaissances qu’elles requièrent. Puis, nous avons utilisé ces indicateurs pour analyser les data de jeu.

Pour compléter ces données, les pratiques de neuf enseignants sur deux années — entre 2 et 8 observations par enseignant — sont analysées. Les cadres théoriques mobilisés sont ceux de la double approche (Robert et Rogalski, 2002) et de l’approche instrumentale (Trouche, 2003) en considérant quatre types de séances de calcul mental : les séances sans support Mathador, la première séance d’initiation au logiciel Mathador, les séances régulières avec le logiciel Mathador, et des séances d’intégration du logiciel au projet d’enseignement.

Les formations dispensées aux enseignants impliqués dans le projet ont également été analysées.

Résultats portant sur les connaissances des élèves en calcul mental

Un premier type de résultats, indépendant du logiciel, concerne les connaissances des élèves que nous avons catégorisées par tranches de 20 % de réussite. Par exemple, sur les 87 items composant les tests, 10 sont réussis par plus de 80 % des élèves de CM1. Ils portent sur : les tables d’addition — qu’elles soient interrogées sous forme directe ou par une addition à trou -–,la soustraction d’un nombre inférieur à 5 ou à 10 à un autre nombre, la comparaison de trois produits et la reconnaissance du rôle de « 1 » pour la multiplication. Nous avons également montré un déficit portant sur la restitution des tables de multiplications (moins de 60 % des élèves de sixième sont en mesure de restituer le fait numérique « 6 × 8 = 48 »). De plus, selon les différents items des tests, ce ne sont pas les mêmes élèves qui progressent au cours de l’année~: par exemple pour la multiplication par 20, ce sont des élèves performants qui progressent, alors que pour l’algorithme posé de la multiplication, ce sont des élèves moyens de CM2.

Résultats portant sur le logiciel et sur son utilisation par les élèves

Concernant le jeu, l’analyse a priori de la tâche proposée nous a permis d’obtenir un premier résultat : un tirage peut être résolu de différentes manières et chacune ne requiert pas les mêmes connaissances. De plus, l’objectif du joueur (obtenir un bon score) et l’objectif de l’apprenant ne coïncident pas. Pour un tirage donné, plusieurs chemins de résolution sont possibles dans lesquels les connaissances et la qualité des connaissances qui interviennent sont différentes. L’analyse des données a montré que ce sont les chemins qui utilisent les connaissances les moins riches qui sont privilégiés par les élèves. Nous retrouvons également un effet lié au mode de calcul du score avec le développement de stratégies de surface uniquement destinées à gagner des points. Ces stratégies ne sont pas porteuses de connaissances riches~: elles utilisent principalement la connaissance de la neutralité de « 1 » pour la multiplication et la division. Les décompositions multiplicatives du nombre cible, potentiellement porteuses de connaissances sur les faits numériques multiplicatifs, sont peu utilisées. Nous avons également montré que les valeurs des variables didactiques (nombre cible, nombres outils et relation entre ces nombres) influent sur les chemins privilégiés et l’utilisation de décompositions multiplicatives.

Résultats portant sur les pratiques des enseignants

Lors de l’utilisation du logiciel, trois types de connaissances sont nécessaires : des connaissances portant sur l’outil informatique, des connaissances portant sur le jeu et ses règles et des connaissances mathématiques. L’enseignant doit quant à lui effectuer une double genèse instrumentale (Tapan, 2006) : comme utilisateur et comme enseignant. Cette deuxième genèse est un volet didactique~: proposer des activités aux élèves. Elle est difficile à réaliser en l’absence de formation ou de ressources explicitant les combinaisons (et les connaissances requises) et détaillant certains tirages. En analysant les pratiques observées, nous relevons trois logiques chez les enseignants : une logique fondée sur la croyance dans le numérique, une logique de joueur et une logique d’apprenant. Les deux premières laissent à la charge de l’élève le transfert de ses connaissances dans le cadre du jeu.

Résultats portant sur les effets du logiciel et pistes d’amélioration

En ce qui concerne l’évaluation du jeu, plusieurs points sont à retenir. Tout d’abord, le choix des tâches laissées au logiciel et à l’élève entraine une différenciation passive : les élèves faibles vont choisir des tirages simples et utiliser des connaissances basiques ; des élèves plus performants vont réaliser des tâches différentes requérant des connaissances plus riches. De ceci découlent des apprentissages différents. Nous relevons une progression plus importante pour des élèves « fragiles » sur les soustractions (petits nombres) et une progression sur les divisions pour des élèves performants.

Afin d’améliorer le logiciel dans un objectif d’apprentissage, nous proposons un changement de mode de calcul du score ; nous envisageons la possibilité de créer des itinéraires cognitifs paramétrables par l’enseignant (pour qu’il puisse choisir le type de combinaison à utiliser lors des tirages) et proposons un accompagnement en direction des enseignants.